26/5/07

Τι είναι το "φράκταλ"?

Πρόσφατα κάπου διάβασα ή άκουσα, δε θυμάμαι ακριβώς, για το "φράκταλ"! Το γεγονός αυτό μου κίνησε την περιέργεια και έτσι έψαξα να βρω τι είναι!
Τα αποτελέσματα της αναζήτησης παρουσιάζονται ευθύς αμέσως:

Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal) στα Μαθηματικά, τη Φυσική, αλλά και σε πολλές επιστήμες περιγράφεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν "απείρως περίπλοκο".

Το φράκταλ παρουσιάζεται ως "μαγική εικόνα" που όσες φορές και να μεγεθυνθεί οποιοδήποτε τμήμα του θα συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο με μερική ή ολική επανάληψη του αρχικού. Χαρακτηριστικό επομένως των φράκταλ είναι η λεγόμενη αυτο-ομοιότητα σε κάποιες δομές τους, η οποία εμφανίζεται σε διαφορετικά επίπεδα μεγέθυνσης.

Τα φράκταλ σε πολλές περιπτώσεις, μπορεί να προκύψουν από τύπο που δηλώνει αριθμητική, μαθηματική ή λογική επαναληπτική διαδικασία ή συνδυασμό αυτών. Η πιο χαρακτηριστική ιδιότητα των φράκταλ είναι, ότι είναι γενικά περίπλοκα ως προς τη μορφή τους, δηλαδή εμφανίζουν ανωμαλίες στη μορφή σε σχέση με τα συμβατικά γεωμετρικά σχήματα. Κατά συνέπεια δεν είναι αντικείμενα τα οποία μπορούν να οριστούν με τη βοήθεια της ευκλείδειας γεωμετρίας. Αυτό υποδεικνύεται από το ότι τα φράκταλ, έχουν λεπτομέρειες, οι οποίες όμως γίνονται ορατές μόνο μετά από μεγέθυνσή τους σε κάποια κλίμακα.

Φράκταλ βρίσκουμε και στη φύση, χωρίς όμως να υπάρχει άπειρη λεπτομέρεια στη μεγέθυνση, όπως στα φράκταλ που προκύπτουν από μαθηματικές σχέσεις. Ως παραδείγματα φράκταλ στη φύση, αναφέρονται το σχέδιο των νιφάδων του χιονιού, τα φύλλα των φυτών ή οι διακλαδώσεις των αιμοφόρων αγγείων.

Ο όρος προτάθηκε από τον Μπενουά Μάντελμπροτ (Benoît Mandelbrot) το 1975 και προέρχεται από τη λατινική λέξη fractus, που σημαίνει "σπασμένος", "κατακερματισμένος".

Επειδή με την επιστημονική τεκμηρίωση είναι δύσκολο να καταλάβουμε περί τίνος ακριβώς πρόκειται, το παρακάτω παράδειγμα βοηθάει αρκετά:

Η περίμετρος ενός νησιού εννοείται ότι είναι ορισμένη. Ωστόσο, αν χρησιμοποιήσουμε ακρίβεια ενός μέτρου για να την μετρήσουμε, θα την βρούμε μικρότερη από ότι πραγματικά είναι γιατί δεν θα μπορέσουμε να μετρήσουμε τις κοιλότητες που είναι μικρότερες του ενός μέτρου. Αν μετρήσουμε με ακρίβεια ενός εκατοστού, πάλι θα χάσουμε οριμένες κοιλότητες. Ετσι καταλήγουμε σε απειροστά μικρή μονάδα μέτρησης και η περίμετρος του νησιού θα γίνει άπειρη. Η επιφάνεια όμως του νησιού, η έκτασή του δηλαδή, είναι ορισμένη. Το παράδοξο αυτό, το οποίο η Ευκλείδεια Γεωμετρία αδυνατεί να εξηγήσει, αντιμετωπίζεται με τα φράκταλ.

Πηγή: el.wikipedia.org

7 σχόλια:

stefy είπε...

Τα fractals είναι απίστευτα. Έχω μερικές φωτό, που είναι πολύ καλές. Τα μαθηματικά που κρύβονται πίσω τους είναι σκέτη τρέλα.

Rizobreaker είπε...

Μάλιστα! Στείλε αν μπορείς μερικές φωτό να προσθέσω... Έχεις ασχοληθεί?

ange-ta είπε...

Φρακτάλ, είναι η επανάλειψη, σε άλλο μέγεθος.
Η κοινωνική ζωή είναι ενα τεράστιο φρακτάλ στο σύνολο και στα υποσύνολά του.
Οταν η δημόσια ζωή είναι χάλια, μη περιμένεις να είναι η ιδιωτική καλλιτερη. Ούτε να περιμένεις τους γιατρούς να κάνουν το καθήκον τους, η τους δικηγόρους να είναι τίμιοι.
Φρακτάλ είναι η επανάλειψη των κοιλάδων και των βουνών στη φύση και στην οικονομία. Ανθηση - πτώση - άλλη άνθηση, άλλη πτώση.
Φρακτάλ είναι η επανάλειψη της ιστορίας, όχι σαν κόπι πέϊστ, όπως για ευκολία έχω γράψει σε ένα πόστ μου, αλλά σε διαφορετικά μεγέθη.
Φρακτάλ είναι και οι εικόνες που προβάλεις, αλλά δεν είναι μόνο αυτές.
Η έννοια εισήχθη, για να αναλυθεί η θεωρία του χάους.
Δύσκολη έννοια, αν δεν την έχεις συναντήσει πολλές φορές, σαν φρακτάλ.

ange-ta είπε...

Φρακτάλ, είναι η επανάλειψη, σε άλλο μέγεθος.
Η κοινωνική ζωή είναι ενα τεράστιο φρακτάλ στο σύνολο και στα υποσύνολά του.
Οταν η δημόσια ζωή είναι χάλια, μη περιμένεις να είναι η ιδιωτική καλλιτερη. Ούτε να περιμένεις τους γιατρούς να κάνουν το καθήκον τους, η τους δικηγόρους να είναι τίμιοι.
Φρακτάλ είναι η επανάλειψη των κοιλάδων και των βουνών στη φύση και στην οικονομία. Ανθηση - πτώση - άλλη άνθηση, άλλη πτώση.
Φρακτάλ είναι η επανάλειψη της ιστορίας, όχι σαν κόπι πέϊστ, όπως για ευκολία έχω γράψει σε ένα πόστ μου, αλλά σε διαφορετικά μεγέθη.
Φρακτάλ είναι και οι εικόνες που προβάλεις, αλλά δεν είναι μόνο αυτές.
Η έννοια εισήχθη, για να αναλυθεί η θεωρία του χάους.
Δύσκολη έννοια, αν δεν την έχεις συναντήσει πολλές φορές, σαν φρακτάλ.

Rizobreaker είπε...

Ενδιαφέρουσα προσέγγιση επί του θέματος!! ;-)

Άγγελος είπε...

Πωπω τι μου θύμησες τώρα... Όντας φοιτητής του μαθηματικού, έχω κάνει μερικά μαθήματα, με την βοήθεια των οποίων μπορείς να δημιουργήσεις fractals.

Κυρίως χρησιμοποιείς μαθηματικά της γραμμικής άλγεβρας και της θεωρίας ομάδων. Πολύ μπλέξιμο και θέλει να ασχοληθείς πάρα πολύ για να καταλάβεις πως δημιουργούνται (από μαθηματικής-κατασκευαστικής άποψης).

Ωστόσο τα αποτελέσματα είναι τρομερά. Πολύ ενδιαφέρον θέμα.

Ανώνυμος είπε...

άιντε, και εδώ copy paste απο wikipedia...Ο γνωστός εύκολος (καθόλου φρακταλικός) τρόπος!!!